О гладкости вплоть до границы области ядра револьвенты эллиптического оператора

Abstract

В заметке будет исследована гладкость вблизи границы и удовлетворение граничным условиям ядра резольвенты общего эллиптического оператора порядка r, рассматриваемого в, вообще говоря, неограниченной области G n-мерного пространства Еn. В случае уравнения Шредингера при n= 3 и классических граничных условии подобные результаты содержатся в работе А. Я. Повзнера [1]. В общем случае при r> n/2 Браудером [2, 3] установлена карлемановость ядра, а Гордиигом (результат опубликован в книге К. Морэна [4]) — удовлетворение им граничных условий, понимаемое как вхождение в область определения оператора. В случае уравнения второго порядка, рассматриваемого в ограниченной области с нулевыми граничными условиями, близкие вопросы исследовались классическими методами В. А. Ильиным и И. А. Шишмаревым [5]. Ниже рассматривается случаи произвольного r и удовлетворение граничным условиям понимается в классическом смысле. Мы используем объединение подхода, развитого в [6], с теоремами о локальном повышении гладкости вплоть до границы решений эллиптических уравнений типа [7]. Для упрощения изложение проводится для ограниченной G, а в п. 7° указываются изменения при переходе к неограниченной G. В п. 2°—5° нам удобно несколько обобщить постановку вопроса.